Định nghĩa cơ bản

Cho điểm x trong không gian tô pô X, và hai ánh xạ f , g : X → Y {\displaystyle f,g:X\to Y} (trong đó Y là tập hợp tùy ý), thì f {\displaystyle f} và g {\displaystyle g} định nghĩa cùng một mầm tại x nếu có lân cận U của x sao cho, khi nằm trong U, f và g bằng nhau; nghĩa là f ( u ) = g ( u ) {\displaystyle f(u)=g(u)} với mọi u thuộc U.

Tương tự, nếu S và T là bất kỳ tập con của X, thì chúng định nghĩa cùng một mầm tại x nếu tồn tại lân cận U của x sao cho

S ∩ U = T ∩ U . {\displaystyle S\cap U=T\cap U.}

Dễ thấy rằng quan hệ định nghĩa cùng một mầm tại x là quan hệ tương đương (bất kể đối tượng đang xét là ánh xạ hay tập hợp), và các lớp tương đương được gọi là mầm (mầm ánh xạ, mầm hàm, hoặc mầm tập hợp tương ứng với đối tượng đang xét). Quan hệ tương đương thường được viết là

f ∼ x g hay S ∼ x T . {\displaystyle f\sim _{x}g\quad {\text{hay}}\quad S\sim _{x}T.}

Cho ánh xạ f trên X, mầm của nó tại x thường được ký hiệu [f ]x. Tương tự, mầm tại x thuộc tập S được viết [S]x. Do đó,

[ f ] x = { g : X → Y ∣ g ∼ x f } . {\displaystyle [f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.}

Mầm ánh xạ tại x thuộc X ánh xạ điểm x thuộc X sang điểm y thuộc Y được ký hiệu như sau:

f : ( X , x ) → ( Y , y ) . {\displaystyle f:(X,x)\to (Y,y).}

Khi sử dụng ký hiệu này, f thường được coi là đại diện cho toàn bộ lớp tương đương của ánh xạ, và ta sử dụng chung ký hiệu f để đại diện cho bất cứ ánh xạ nào khác cùng lớp tương đương.

Lưu ý rằng hai tập hợp tương đương mầm tại x khi và chỉ khi hàm đặc trưng của chúng tương đương mầm tại x:

S ∼ x T ⟺ 1 S ∼ x 1 T . {\displaystyle S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.}

Tổng quát hơn

Các ánh xạ không nhất thiết phải được xác định trên mọi điểm thuộc X, và cụ thể chúng không cần phải có chung một miền. Tuy nhiên, nếu f có miền S và g có miền T, cả hai miền là tập con của X, thì f và g tương đương mầm tại x thuộc X nếu S và T tương đương mầm tại x trước, chẳng hạn S ∩ U = T ∩ U ≠ ∅ , {\displaystyle S\cap U=T\cap U\neq \emptyset ,} và f | S ∩ V = g | T ∩ V {\displaystyle f|_{S\cap V}=g|_{T\cap V}} , với một số lận cận nhỏ hơn V cùng với x ∈ V ⊆ U {\displaystyle x\in V\subseteq U} . Định nghĩa càng phải được để ý hơn khi liên quan tới hai ý sau:

1. f được định nghĩa trên đa tạp con V của X, và
2. f có cực tại x, do đó không được định nghĩa tại x, lấy ví dụ như hàm hữu tỉ.

Tính chất cơ bản

Nếu f và g tương đương mầm tại x, thì chúng đều có chung các tính chất địa phương, như tính liên tục, tính khả vi, ..., nên thường nói đển mầm khả vi hay mầm giải tích. Tương tự với tập con: nếu một đại diện trong lớp là tập giải tích thì các tập khác trong lớp cũng là tập giải tích, ít nhất là nằm trong một số lân cận của x.

Cấu trúc đại số của các đối tượng đích Y kế thừa từ tập các mầm có giá trị trong Y. Lấy ví dụ, nếu tập các đối tượng đích Y tạo thành một nhóm, thì ta có thể nhân các mầm với nhau bằng cách định nghĩa [f]x[g]x: đầu tiên lấy đại diện f và g, định nghĩa trên các lân cận U và V tương ứng, và định nghĩa [f]x[g]x là mầm tại x của ánh xạ tích từng điểm fg (định nghĩa trên U ∩ V {\displaystyle U\cap V} ). Cũng cùng cách đó, nếu Y là nhóm giao hoán, không gian vectơ, hay vành, thì tập các mầm cũng sẽ có cấu trúc tương tự.

Tập các mầm tại x của các ánh xạ từ X đến Y không có tô pô hữu dụng, ngoại trừ trường hợp rời rạc. Do đó ta thường không nói đến tính hội tụ của dãy các mầm. Tuy nhiên, nếu X và Y là các đa tạp, thì các không gian của các dòng J x k ( X , Y ) {\displaystyle J_{x}^{k}(X,Y)} (chuỗi Taylor bậc hữu hạn tại x của mầm hàm) có tô pô bởi chúng có thể đồng nhất với các không gian vectơ hữu hạn chiề